マクロ経済学で用いられる近似式の導出

　大学等でマクロ経済学を学ばれた方であれば、以下のような成長会計の公式をご覧になったことがあると思います。

$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta A}{A} + \alpha\frac{\Delta K}{K} + (1-\alpha)\frac{\Delta N}{N}$

　これは一種の近似式です。今回は、マクローリン展開による近似によってこの公式を導いてみましょう。この考え方をマスターすれば、マクロ経済学におけるその他の公式にもそのまま当てはめることができるはずです。

補論

${\textstyle x \approx 0}$ ならば ${\textstyle \log{(1+x)} \approx x}$ となることの導出

$f(x) = \log{(1+x)}$ とおく。
$f'(x) = \frac{1}{1+x}$
だから、 ${\textstyle f(x)}$ を ${\textstyle x = 0}$ の周りでマクローリン展開して、
$f(x) \approx f(0) + f'(0)x = \log{1} + \frac{1}{1+0}x = 0 + x$
よって、 ${\textstyle x \approx 0}$ ならば ${\textstyle \log{(1+x)} \approx x}$ となる（導出終）。

本論

ところで、 ${\textstyle t}$ 期および ${\textstyle t+1}$ 期におけるコブ＝ダグラス型の生産関数は次の通り。

時点 ${\textstyle t+1}$ において： $Y_{t+1} = A_{t+1} K^{\alpha}_{t+1} N^{1-\alpha}_{t+1}$ ・・・（ア）
時点 ${\textstyle t}$ において： $Y_{t} = A_{t} K^{\alpha}_{t} N^{1-\alpha}_{t}$ ・・・（イ）

以下のようにGDPの成長率を ${\textstyle g}$ をおき、 ${\textstyle g \approx 0}$ であるとします。
このような仮定が成り立つ理由は、5%成長だとしてもせいぜい ${\textstyle g=0.05}$ であり、また僅か1期で大幅に成長率が跳ね上がることも考えづらいためです。

$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{Y_{t+1}-Y_t}{Y_t} = g$

同様にして、 ${\textstyle a, k, n}$ をおきます。これも同じく ${\textstyle a, k, n \approx 0}$ です。

$\frac{\Delta A}{A} = \frac{A_{t+1}-A_t}{A_t} = a$
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{K_{t+1}-K_t}{K_t} = k$
$\frac{\Delta N}{N} = \frac{N_{t+1}-N_t}{N_t} = n$

さてここで、（ア）/（イ）を実行し、 ${\textstyle g, a, k, n}$ で表そうとします。

$\frac{Y_{t+1}}{Y_t} = \frac{A_{t+1} K^{\alpha}_{t+1} N^{1-\alpha}_{t+1}}{A_{t} K^{\alpha}_{t} N^{1-\alpha}_{t}} \Rightarrow (1+g) = (1+a)(1+k)^{\alpha}(1+n)^{1-\alpha}$ 　・・・（ウ）

（ウ）の両辺の自然対数をとると、

$\log{(1+g)} = \log{(1+a)} + \alpha\log{(1+k)} + (1-\alpha)\log{(1+n)}$ 　・・・（ウ）’

となります。（ウ）’に対して、補論の近似式を適用すると、

（左辺） $= \log{(1+g)} \approx g$
（右辺） $= \log{(1+a)} + \alpha\log{(1+k)} + (1-\alpha)\log{(1+n)} \approx a + \alpha k + (1-\alpha)n$
$\Rightarrow g \approx a + \alpha k + (1-\alpha)n$

が成り立ちます。 ${\textstyle g, a, k, n}$ を代入すれば、

$\frac{\Delta Y}{Y} \approx \frac{\Delta A}{A} + \alpha\frac{\Delta K}{K} + (1-\alpha)\frac{\Delta N}{N}$

を得ることができました（導出終）。